Jag har valt att kalla denna del av förståelsen av gravitationen för Newtons gravitation eftersom den kommer ur Newtons formler och lagar. Senare hoppas jag att jag kommer orka gå vidare in i Einsteins allmänna relativitetsteori för en djupare förståelse.
Målet är att förklara så att alla kan förstå, men också på ett sätt så att man kan dra nytta av vad jag säger. Intuitiva förklaringar finns det gott om på internet. Wikipedia ger en del svar. Jag tänkte visa var alla svaren kommer ifrån. Om det är några begrepp som verkar oklara och luddiga i början kommer de snart att reda ut sig. (Jag ska försöka förbättra texten på de ställen där jag har skrivit lite otydligt efterhand.)
För att börja detta äventyr behöver vi klara upp vad olika symboler betyder. Vi börjar med:
En vanlig ekvation som de flesta känner till. F betyder kraft, m betyder massa, a betyder acceleration. Antag att inga andra krafter påverkar föremålet. Alltså kan man tyda ovanstående ekvation som kraften som påverkar ett föremål är lika med föremålets massa gånger accelerationen.
För att göra ekvationen lite tydligare kan man sätta ut vektorsymboler ovanför F och a.
Massa i Newtons fysik är konserverad. Den är alltså inte en vektor, utan ett värde, en skalär.
För en enkel förklaring av vad en vektor är ritar jag nu ett koordinatsystem i två dimensioner med axlarna (x1, x2), man hade lika gärna kunnat kalla dem för x och y, men för ändamålets skull håller jag mig till x1 och x2.
R står för radie. Här menar det längden mellan origo, där axlarna möts, och den röda punkten.
Accelerationen är en vektor som består av tidsderivatorna av (x1, x2). Alltså andraderivatan av koordinaterna i förhållande till tiden som man kan skriva såhär:
Förstaderivatet av koordinaterna i förhållande till tiden kallas för hastighet eller velocitet och kan skrivas:
Enkelt utryckt säger man förändring i x-led delat på förändring i tiden.
Acceleration kan man även skriva såhär:
Förändring i hastighet över förändring i tiden.
Nu har jag bara visat en dimension i ekvationerna för enkelhetens skull. Behöver man fler dimensioner är det bara att lägga till.
Istället för F = ma, kan vi se ekvationen på ett annat sätt:
Nu när vi har tittat lite på accelerationen, kan vi se vad Gallileo beskrev gravitationskraften som:
Där g är tyngdaccelerationen, ca 9,81 m / s2. Minustecknet dyker upp på grund av att kraften är riktad nedåt, mot marken. Kombinerar man Newtons och Gallileos ekvationer ser de ut såhär:
Eftersom vi har m för massa på båda sidor av ekvationen, kan de strykas:
Resultatet av detta blir att accelerationen mot marken(i gravitationsfältets riktning) inte beror på föremålets tyngd. Om man inte bryr sig om luftmotstånd, kommer vilka två föremål som helst att falla mot marken med samma hastighet oavsett hur lätta eller tunga de är.
Skulle du se ett moln av partiklar(golfbollar, vattendroppar – vad som helst) som börjar falla mot marken kommer molnet av partiklar inte att deformeras under fallet utan se likadant ut hela vägen.
Följden av detta blir att ett fall i ett gravitationsfält inte går att känna(bortse från vind och allt annat som inte har med gravitation att göra). Börjar du falla mot jorden, kan du inte veta om det är du som faller mot jorden eller jorden som faller mot dig.
Newton och hans äpple
Det finns flera olika versioner om vad som hände och inte hände då sir Isaac Newton satt under sitt äppelträd. En sak är säker såhär i efterhand. Han kom på att samma kraft som påverkar ett äpple som faller mot marken påverkar också månen och håller den i sin omloppsbana runt jorden. Han insåg att samtidigt som jordens dragningskraft drar till sig äpplet, drar också äpplet till sig jorden med sin dragningskraft. Eftersom äpplen brukar vara mycket mindre än jorden, märks inte äpplets dragningskraft alls, och det är antagligen det som är anledningen till varför det tog en Newton att inse sambandet.
Om man tänker sig två objekt i rymden, påverkar dessa varandra genom respektive gravitationsfält. Den lilla massan kallar jag för m och den stora för M. Newtons gravitationslag säger att kraften som dessa föremål påverkar varandra med är produkten av massorna gånger Newtons gravitationskonstant, G, delat på avståndet emellan dem i kvadrat.
Där G är ca 6,67 x 10-11 Nm2/kg2.
Nu har vi gjort en ekvation som beskriver hur stor kraft som påverkar de båda kropparna. För att göra om det till en vektorekvation så att man vet i vilken riktning kraften är riktad behöver vi göra en del förändringar. Vi lägger till en pil ovanpå F, och multiplicerar högersidan med vektorn R för att veta i vilken riktning kraften är riktad. Eftersom vi har multiplicerat en gång extra med R, måste vi dela högersidan med R en gång till. Det kan man göra genom att lägga till R/R eller skriva R i kubik istället för kvadrat under mMG. Dessutom måste vi byta tecken till minus eftersom kraften är riktad tvärtemot vad R är. Det är enklare än vad det låter:
Eller
Detta var när det handlade om två objekt som påverkar varandra. Om man ska utföra beräkningar där det handlar om många objekt som utövar krafter på varandra ser ekvationen lite annorlunda ut. Tänk dig en mängd med partikar i rymden där du vill veta vad för kraft som påverkar partikel i. Alla partiklar som inte är i, kan skrivas som j.
Avståndet mellan partikel i och varje partikel j är nu R(som måste beräknas till varje j). Massan för partikel i kallar vi för mi och massan för de andra partiklarna kallar vi för Mj. Vektorekvationen kan nu skrivas:
Resultatet kommer att bli olika vektorer från partikel i som när man lägger ihop dem kanske inte kommer att peka mot någon speciell partikel, men det är åt det hållet kraften är riktad.
Kombinerar man med F = ma, kan ekvationen se ut:
Och man får då reda på accelerationen av partikel i. Summan, ∑, är över alla j-partiklarna och inte i. Då ser vi att accelerationen återigen inte beror på massa mi. Alla de andra partiklarnas massor påverkar hur i rör sig, men eftersom mi finns på båda sidor av ekvationen tar den ut varandra.
En sak som nu förändras med Newtons gravitationslag är att tex ett moln med partiklar nu kommer att deformeras på grund av att gravitationen ökar när avståndet minskar. Det har alltså inte bara med tiden att göra längre.
I nästa del tänkte jag ta upp gravitationsfält, gradienter och divergenser, samt Gauss lag och teorem.
